CẬP NHẬT Phương trình sai phân là gì? Hướng nghiên cứu của phương trình sai phân MỚI NHẤT

Phương trình sai phân là gì?

Phương trình sai phân (difference equation) là phương trình mà giá trị hiện tại của biến số phụ thuộc được biểu thị dưới dạng hàm của giá trị trước đó của chính nó. Phương trình sai phân bậc n là phương trình trong đó độ trễ dài nhất của biến sô phụ thuộc bằng n thời kỳ. Ví dụ, phương trình sai phân bậc 2 có dạng :

Trong đó t là thời kỳ thứ t

(Tài liệu tham khảo: Nguyễn Văn Ngọc, Từ điển Kinh tế học, Đại học Kinh tế Quốc dân)

Hướng nghiên cứu của phương trình sai phân

Phương trình sai phân (difference equation) được nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy và ứng dụng, vật lý, và các ngành kĩ thuật.

Toán học thuần túy thì quan tâm đến việc tìm ra sự tồn tai và duy nhất của hàm nghiệm.

Toán học ứng dụng thì tập trung vào các phương pháp để xấp xỉ hàm nghiệm

Một số ngành khác thì dùng phương trình sai phân trong mô hình các quá trình vật lý, sinh học và kĩ thuật. Ví dụ: tương tác giữa các nguyên tử trong phân tử, hay giữa các neuron thần kinh. Khi áp dụng trong các ứng dụng thực tiễn, thì việc tìm ra dạng đóng của hàm nghiệm là không cần thiết. Thay vào đó, chúng có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp số.

Các nhà toán học cũng nghiên cứu nghiệm yếu (weak solution) (dựa vào đạo hàm yếu (weak derivative)).

Việc nghiên cứu tính ổn định của hàm nghiệm của các phương trình sai phân là thuộc về lý thuyết ổn định (stability theory).